Основные свойства преобразований Фурье. Преобразование фурье интеграл фурье комплексная форма интеграла преобразование фурье косинус и синус преобразования амплитудный и фазовый спектры свойства приложения
Как следует из теории ряда Фурье, он применим при обращении с периодическими функциями и с функциями с ограниченным интервалом изменения независимых переменных (поскольку этот интервал может быть расширен на всю ось путем периодического продолжения функции). Однако периодические функции сравнительно редки на практике. Эта ситуация требует создания более общего математического аппарата для обращения с непериодическими функциями, а именно интеграла Фурье и на его основе, преобразования Фурье.
Рассмотрим непериодическую функцию f(t) как предел периодической с периодом T=2l при l®?.
Периодическая функция с периодом 2l может быть представлена в виде разложения в ряд Фурье (воспользуемся комплексной его формой)
где выражения для коэффициентов имеют вид:
Введем следующее обозначение для частот:
Запишем разложение в ряд Фурье в виде одной формулы, подставив в (1), выражение для коэффициентов (2) и для частоты (3) :
Спектр периодической функции с периодом 2l дискретный
Обозначим минимальное расстояние между точками спектра, равное основной частоте колебаний за, т.е.
и введем это обозначение в (4):
В таких обозначениях ряд Фурье напоминает интегральную сумму для функции.
Переходя к пределу при T=2l®? к непериодической функции, получим, что частотный интервал становится бесконечно малым (обозначим его за dw), а спектр становится непрерывным. С математической точки зрения это соответствует замене суммирования по дискретному набору интегрированием по соответствующей переменной в бесконечных пределах.
Это выражение и есть интегральная формула Фурье.
2.2 Формулы преобразования Фурье.
Интеграл Фурье удобно представить в виде суперпозиции двух формул:
Функция F(w), сопоставляемая по первой формуле функции f(t), называется ее преобразованием Фурье . В свою очередь, вторая формула, позволяющая найти исходную функцию по ее образу, называется обратным преобразованием Фурье . Обратим внимание на симметрию формул для прямого и обратного преобразования Фурье с точность до постоянного множителя 1/2pи знака в показателе экспоненты.
Символически прямое и обратное преобразование Фурье будем обозначать как f(t)~F(w).
Проводя аналогию с тригонометрическим рядом Фурье, можно прийти к выводу, что образ Фурье (6) является аналогом коэффициента Фурье (см.(2)), а обратное преобразование Фурье (7) является аналогом разложения функции в тригонометрический ряд Фурье (см.(1)).
Отметим, что множитель вместо обратного преобразования можно отнести к прямому преобразованию Фурье или сделать симметричные множители для прямого и обратного преобразований. Главное, чтобы оба преобразования вместе составляли интегральную формулу Фурье (5), т.е. произведение постоянных множителей при прямом и обратном преобразовании должно быть равно..
Отметим, что для прикладных целей более удобной оказывается не угловая частота w, а частотаn, связанная с первой соотношениемw=2pn. и измеряемая в герцах (Гц). В терминах этой частоты формулы преобразования Фурье будут иметь вид:
Сформулируем без доказательства достаточные условия существования преобразования Фурье.
- 1) f(t) - ограничена при t?(-?,?);
- 2) f(t) - абсолютно интегрируема на t?(-?,?);
- 3) Число точек разрыва, максимума и минимума функции f(t) конечно.
Другим достаточным условием является требование квадратичной интегрируемости функции на свей действительной оси, что физически соответствует требованию конечной мощности сигнала.
Таким образом, с помощью преобразования Фурье мы имеем два способа представления сигнала: временное f(t) и частотное F(w).
- 2.3 Свойства преобразования Фурье.
- 1. Линейность.
Если f(t)~F(w),g(t)~G(w),
то аf(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).
Доказательство основано на линейных свойствах интегралов.
- 2. Четность.
- 2.1 Если f(t) действительная четная функция и f(t)~F(w), то F(w) также действительная четная функция.
Доказательство:
Используя определение (6), а также формулу Эйлера получим
- -четная функция.
- 2.2 Если f(t) -нечетная действительная функция, то F(w)- нечетная мнимая функция.
2.3 Если f(t) произвольная действительная функция, F(w) имеет четную действительную часть и нечетную мнимую часть.
Доказательство:
Cвойства четности 2 можно суммировать в формуле:
3. Подобие
Если f(t)~F(w), то f(at)~.
- 4. Смещение.
- 4.1 Если f(t)~F(w), то f(t-a)~.
Т.е. запаздыванию во времени соответствует умножение на комплексную экспоненту в области частот.
4.2 Если f(t)~F(w), то~.
Т.е. смещение по частоте соответствует умножению на комплексную экспоненту во временной области.
- 5. Если f(t)~F(w), то
- 5.1 f’(t)~iwF(w),~
если f(t) имеет n непрерывных производных.
Доказательство:
если F(w) имеет n непрерывных производных.
Доказательство:
- 2.4 Важнейшие примеры нахождения преобразования Фурье .
где - прямоугольный импульс
При этом мы учли, что - интеграл Пуассона.
Нахождение последнего интеграла можно пояснить следующим образом. Контур интегрирования С есть прямая в комплексной плоскости (t,w), параллельная действительной оси (w-постоянное число). Интеграл от скалярной функции по замкнутому контуру равен нулю. Образуем замкнутый контур, состоящий из прямой С и действительной оси t, замыкающихся на бесконечности. Т.к. на бесконечности подинтегральная функциястремится к нулю, то интегралы по замыкающим кривым равны нулю. Значит интеграл по прямой С равен интегралу, взятому по действительной действительной оси, проходимой в положительном направлении.
2 .5 Принцип неопределенности для частотно-временного представления сигнала.
На примере прямоугольного импульса покажем справедливость принципа неопределенности, состоящего в том, что невозможно одновременно локализовать импульс во времени и усилить его избирательность по частоте.
Согласно 5), ширина прямоугольного импульса во временной области DT равна 2Т. За ширину образа Фурье прямоугольного импульса примем расстояние между соседними нулями центрального горба в частотной области. Первые нули функции имеем при.
Таким образом получаем
Таким образом, чем более импульс локализован во времени, тем сильнее размазан его спектр. Обратно, чтобы сократить спектр, мы вынуждены растягивать импульс во времени. Этот принцип справедлив при любой форме импульса и носит универсальный характер.
2.6 Свертка и ее свойства.
Свертка-основная процедура при фильтрации сигнала.
Назовем функцию h(t) сверткой непериодических функций f(t) и h(t), если она определяется как следующий интеграл:
Символически будем обозначать этот факт как.
Операция свертки обладает следующими свойствами.
- 1. Коммутативность.
Доказательство коммутативности можно получить путем замены переменной t-t=t’
- 2. Ассоциативность
Доказательство:
- 3. Дистрибутивность
Доказательство этого свойства непосредственно следует из линейных свойств интегралов.
Для обработки сигналов наиболее важным в методе Фурье (после формул преобразования Фурье) являются теоремы о свертке. Будем использовать частоту nвместоw, т.к. теоремы о свертке в этом представлении будут иметь взаимообратимый характер.
2.7 Теоремы о свертке
Первая теорема о свертке .
Преобразование Фурье прямого произведения функций равно свертке преобразований
Доказательство:
Пусть, тогда. Используя определение обратного преобразования Фурье и меняя порядок интегрирования, получим:
В терминах угловой частоты wэта теорема имеет менее универсальный вид
Вторая теорема о свертке.
Преобразование Фурье свертки функций равно прямому произведению преобразований.
Доказательство:
Для примера рассмотрим свертку прямоугольного импульса
По условию f(t)=0 приt<-T и приt>T. Аналогично, f(t-t)=0 при
t-t<-T и при t-t>T, т.е. приt>t+T и приt при -2T Объединяя оба случая, получим выражение для свертки: Таким образом, сверткой прямоугольного импульса самого с собой будет треугольный импульс (иногда эту функцию называют L-функцией). Пользуясь теоремой о свертке, можно легко получить преобразование Фурье L-функции На практике физическим ситуациям соответствуют функции, равные нулю при t<0. Это приводит к тому, что бесконечные пределы заменяются конечными. Найти свертку функций f(t) и g(t) т.к. f(t)=0 приt<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. приt>t. Введем понятие взаимной корреляции двух функций f(t) и g(t). где t- временной сдвиг, непрерывно изменяющийся в промежутке (-?,?). Важным понятием является корреляция функции с самой собой, которая носит название автокорреляции. Перейдем к рассмотрению понятия мощности и энергии сигнала. Важность этих понятий объясняется тем, что любая передача информации есть фактически передача энергии. Рассмотрим произвольный комплексный сигнал f(t). Мгновенная мощность сигнала p(t) определяется равенством Полная энергия равна интегралу от мгновенной мощности по всему промежутку существования сигнала: Мощность сигнала может быть рассмотрена также как функция частоты. При этом мгновенную частотную мощность обозначают как. Полная энергия сигнала вычисляется по формуле Полная энергия сигнала не должна зависеть от выбранного представления. Значения полной энергии, посчитанные из временного и частотного представления, должны совпадать. Поэтому, приравнивая правые части, получаем равенство: Это равенство составляет содержание теоремы Парсеваля для непериодических сигналов. Строгое доказательство этой теоремы будет дано при изучении темы “Обобщенные функции”. Аналогично, выражая энергию взаимодействия двух различных сигналов f(t) и g(t) во временном и частотном представлении, получим: Выясним математический смысл теоремы Парсеваля. С математической точки зрения интеграл есть скалярное произведение функций f(t) и g(t), обозначаемое как (f,g). Величинаназывается нормой функции f(t) и обозначается как. Поэтому из теоремы Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения относительно преобразования Фурье,т.е. Мгновенная мощность сигнала, рассматриваемая как функция частоты,т.е. , имеет и другое общепризнанное название - спектр мощности. Спектр мощности является основным математическим инструментом спектрального анализа, позволяющего выяснить частотный состав сигнала. Кроме спектра мощности сигнала на практике используется амплитудный и фазовый спектры, определяемые, соответственно как: Плотность спектра мощности сигнала f(t) равна Фурье-образу автокорреляционной функции Плотность кросс-спектрасигналов f(t) и g(t) равна Фурье- образу корреляционной функции. Оба утверждения можно объединить в одно: Спектральная плотность равна преобразованию Фурье корреляционной функции. Доказательство будет дано позже после введения понятия обобщенной функции. О преобразовании Фурье, его смысле, свойствах и применении написано
много книг, поэтому здесь будут описаны только самые важные его
характеристики. Эта статья - своего рода теоретическая выжимка, и для
её понимания следует уже обладать базовыми знаниями в этой области. Она
не является учебником по преобразованию Фурье (уже существуют такие
учебники, написанные профессионалами своего дела). Скорее, эта статья
поможет освежить в памяти уже полученные знания в этой области, а также
поможет вспомнить полезные формулы, которые у многих людей быстро
улетучиваются из головы (к этой группе отношусь и я:)). Перед началом изложения хочу выразить благодарность
Олегу Красноярову за присланное письмо, в котором были кратко
рассмотрены альтернативные алгоритмы БПФ, менее известные, чем широко
использующийся вариант. Практически полностью это письмо легло в основу
подраздела . Итак, преобразование Фурье бывает двух видов: дискретное и непрерывное.
Непрерывное используется математиками в аналитических исследованиях,
дискретное применяется во всех остальных случаях. Непрерывное преобразование Фурье - преобразование, которое применяется к функции h(t)
, заданной на интервале . В результате получается функция H(f)
: также существует обратное преобразование, которое позволяет по образу H(f)
восстановить исходную функцию h(t)
: Очевидно, что образ H(f)
является комплексной функцией вещественного аргумента, но также и h(t)
может принимать не только вещественные, но и комплексные значения. Применение преобразования Фурье является столь
обширной темой, что этот вопрос не будет подниматься в этой статье.
Можно только перечислить несколько областей: анализ сигналов,
фильтрация, ускоренное вычисление корелляции и свертки, использование в
алгоритмах быстрого умножения чисел, и во многих других случаях оно
также находит свое применение. В таблице ниже описана связь свойств прообраза h
и образа H
. Следующая таблица показывает, как меняется образ при изменении прообраза. Пусть запись обозначает, что H(f)
является образом h(t)
. Тогда имеют место следующие отношения: Следующий набор свойств относится к операциям свертки и корелляции. Свертка функций g
и h
определяется, как . Корелляция функций g
и h
определяется, как . В таком случае имеют место следующие отношения: С непрерывным преобразованием Фурье удобно работать
в теории, но на практике мы обычно имеем дело с дискретными данными.
Очень часто у нас дано не аналитическое выражение преобразуемой
функции, а лишь набор её значений на некоторой сетке (обычно на
равномерной). В таком случае приходится делать допущение, что за
пределами этой сетки функция равна нулю, и аппроксимировать интеграл
интегральной суммой: В случае равномерной сетки эта формула упрощается.
Также на равномерной сетке обычно избавляются от шага, чтобы получить
безразмерную формулу: Обратное преобразование в таком случае будет иметь вид При внимательном рассмотрении можно заметить, что индекс при H n
принимает N+1
значение, в то время как при h k
- только N
значений. Таким образом, как будто бы получается, что функция H
содержит в себе больше информации, чем h
. На самом деле это не так, поскольку значения H -N/2
и H N/2
совпадают. Определенное таким образом, дискретное
преобразование Фурье сохраняет практически все свойства непрерывного
(разумеется, с учетом перехода к дискретному множеству). Сколько операций требуется на проведение дискретного преобразования Фурье? Посчитав по определению (N
раз суммировать N
слагаемых), получаем величину порядка N 2
. Тем не менее, можно обойтись существенно меньшим числом операций. Наиболее популярным из алгоритмов ускоренного
вычисления ДПФ является т.н. метод Cooley-Tukey, позволяющий вычислить
ДПФ для числа отсчетов N = 2 k
за время порядка Nlog 2 N
(отсюда и название - быстрое преобразование Фурье, БПФ). Этот способ
чем-то неуловимо напоминает быструю сортировку. В ходе работы алгоритма
также проводится рекурсивное разбиение массива чисел на два подмассива
и сведение вычисления ДПФ от целого массива к вычислению ДПФ от
подмассивов в отдельности. Изобретение БПФ привело к потрясающему всплеску популярности
преобразования Фурье. Целый ряд важных задач раньше решался за время
порядка N 2
, но после проведения преобразования Фурье над исходными данными (за время порядка Nlog 2 N
)
решается практически мгновенно. Преобразование Фурье лежит в основе
цифровых корелляторов и методов свертки, активно используется при
спектральном анализе (практически в чистом виде), применяется при
работе с длинными числами. Широко распространено ошибочное мнение о том, что
метод Cooley-Tukey - единственный существующий метод выполнения БПФ, а
само БПФ существует только для случая N = 2 k
.
На самом деле это не так - существуют алгоритмы БПФ для любого числа
отсчетов. В одномерном случае, рассмотренном в этой статье, метод
Винограда позволяет решить задачу для простого числа отсчетов N
. Этот же алгоритм может быть легко обобщен на случай, когда N
является степенью произвольного простого числа (а не только двойки), а также на случай, когда число N
является произведением степеней простых чисел - т.е. N
является произвольным числом, чье разложение на простые множители нам известно. В двумерном случае можно использовать метод Нуссбаумера. Существуют и
другие алгоритмы, как для одномерного, так и для двумерного случаев, но
рассмотрение этих вопросов выходит за рамки статьи (мне рекомендовали
следующий источник - Блейхут, "Быстрые алгоритмы цифровой обработки
сигналов"). Как уже говорилось выше, существуют алгоритмы БПФ
для произвольного числа отсчетов, но наиболее широкое распространение
получил только алгоритм для случая N = 2 k
, что является существенным ограничением. Почему же это произошло? Причина этого в том, что алгоритм, построенный по методу Cooley-Tukey,
обладает рядом очень хороших технологических свойств. Структура
алгоритма и его базовые операции не зависят от числа отсчетов (меняется
только число прогонов базовой операции "бабочка"). Алгоритм легко
распараллеливается с использованием базовой операции и конвееризуется,
а также легко каскадируется (коэфициенты БПФ для 2N отсчетов могут быть
легко получены преобразованием коэфициентов двух БПФ по N отсчетов,
полученных "прореживанием" через один исходных 2N отсчетов). Алгоритм
прост и компактен, не требует дополнительной оперативной памяти и
допускает обработку данных "на месте". Существует целый ряд
оптимизированных именно для этого алгоритма DSP-процессоров (это
одновременно и причина, и следствие). Всё это и обусловило популярность в инженерно/программистской среде именно этого алгоритма, и, соответственно, выбора именно 2 k
отсчетов при использовании БПФ. Правда, попутно это привело к
незаслуженному забвению широкими массами альтернативных алгоритмов,
некоторые из которых (что следует отметить) требуют меньше вещественных
операций на один отсчет, чем алгоритм Cooley-Tukey. Например, мне
доводилось читать описание алгоритма, который по этому показателю на
20-40% (в зависимости от числа отсчетов) превосходил алгоритм
Cooley-Tukey.
© Сергей Бочканов, Олег Краснояров
На практике важна связь между рядом преобразований сигнала и соответствующими этим преобразованиям изменениями его спектральной плотности. 1. Сложение, усиление и ослабление сигналов (теорема линейности). К линейным операциям относят сложение, вычитание, усиление и ослабление сигналов, поэтому к ним применимо свойство линейности. Если имеется совокупность детерминированных сигналов u 2 (t
), ... ; и0),
..., u s (t),
обладающих спектральными плотностями 5, (со), S 2 (со), ..., 5)(со), ..., 5^со), то суммарному (разностному) значению сигналов соответствует сумма (разность) их спектральных плотностей Данная теорема имеет элементарное доказательство: достаточно в прямое преобразование Фурье (2.29) подставить сумму исходных сигналов. В общем виде теорему линейности записывают следующим образом: где a i
- произвольные числовые коэффициенты; i =
0, 1,..., N.
2. Сдвиг сигнала во времени (теорема запаздывания). Пусть сигнал u x (t)
со спектральной плотностью 5, (со) задержан на некоторое время t c .
В этом случае u 2 (t) = u x (t - t c)>
и спектральная плотность задержанного сигнала в соответствии с прямым преобразованием Фурье (2.29) имеет вид Введя новую переменную интегрирования т = t - t c ,
получим
Итак, сдвиг исходного сигнала во времени на некоторый интервал t c
приводит к тому, что спектр задержанного сигнала оказывается равен спектральной плотности 5j(co), умноженной на комплексную экспоненту Амплитудный же спектр сигнала не меняется (ведь модуль такой комплексной экспоненты равен единице). При этом фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое -со? с, линейно зависящее от частоты. На практике сдвиг исходного сигнала во времени осуществляют при аудио- и видеозаписи. Теорема запаздывания показывает, что сколько бы долго ни хранилась такая запись, спектр (и форма) сигнала не претерпит изменений. 3. Смещение спектра сигнала (теорема смещения). Если S {
(со) - спектральная плотность сигнала u { (t),
то спектральная плотность S
2 (со + Q), полученная путем сдвига исходного спектра но оси частот на величину Q, соответствует сигналу u 2 (t) = jQt .
Действительно, согласно формуле (2.29) Это преобразование спектра импульсного сигнала применяют в системах связи либо при переносе спектра сигнала из одной полосы частот в другую, либо при модуляции. Формула (2.34) показывает, что в результате таких преобразований спектр сигнала смещается на величину Q, равную частоте сдвига. 4. Изменение масштаба времени. Пусть в исходном сигнале u x (t)
изменен масштаб времени так, что аргумент t
умножен на постоянный коэффициент b
и u 2 (t) = u x (bt).
Если b
> 1, то происходит «сжатие» исходного сигнала; если же 0 b 1, то исходный сигнал «растягивается» во времени. Докажем это. Спектральная плотность измененного во времени сигнала Введя новую переменную т = Ы
, получим
откуда Увеличение длительности импульсного сигнала любой формы в b
раз сопровождается сжатием ширины его спектра во столько же раз, и наоборот, уменьшение длительности сигнала приводит к расширению его спектра. 5. Спектр произведения сигналов (теорема о свертке спектров). Прежде чем определить данный спектр, введем важное для теории сигналов понятие свертки двух функций. Рассмотрим скалярное произведение двух функций /(?) и h(t):
Это соотношение имеет фундаментальное значение в теории связи. Интеграл (2.35) в математике и теории цепей называют сверткой
(англ, convolution)
двух функций или сигналов (где * - знак операции свертки функций). Пусть сигналы /(f) и h(t)
имеют спектральные плотности /(со) и #(со) соответственно. Тогда их произведение u{t) = f{t)h{t)
будет характеризовать спектральная плотность При выводе формулы (2.36) сигнал /(f) выражен через его спектральную плотность F(со) с заменой переменной со на т. Согласно формуле (2.36) спектральная плотность произведения двух сигналов есть свертка их спектральных плотностей (умноженная на 1/(2л)), т.е. свертка, осуществленная ужй в частотной области. Данное соотношение имеет чрезвычайно важное значение в теории связи. Оно связывает спектральный и временной подходы к анализу импульсных сигналов и служит для целей исследования прохождения подобных сигналов через линейные и линейно-параметрические цепи. Нетрудно убедиться, что операция свертки коммутативна, т.е. допускает изменение порядка следования преобразуемых функций: Теорема Рэлея и равенство Парсеваля. Приняв в фломуле (2.36) значение частоты со = 0, приходим к выводу известной в математике теоремы {обобщенной формулы
) Рэлея для сигналов Здесь учтено соотношение (2.32), согласно которому //(-со) = Н*(со). Легко запоминающаяся трактовка формулы (2.37) такова: скалярное произведение двух непрерывных сигналов с точностью до коэффициента 1/(2тг) пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей. Формула Рэлея относится к классу обобщенных функций и обладает важным положением, касающимся спектральных свойств ряда неинтегрируе- мых сигналов. При f(t) = h(t)
= u(t)
из теоремы Рэлея вытекает равенство Парсеваля
6. Умножение сигнала на гармоническую функцию. Умножим исходный непрерывный сигнал u(t)>
спектральная плотность S(со) которого известна, на гармоническую функцию единичной амплитуды (для упрощения примем начальную фазу гармонического сигнала равной нулю): f(t) = u(t)cos($ 0 L
Посмотрим, что произошло со спектром при таком преобразовании: Итак, спектр исходного сигнала при его умножении на гармоническую функцию «раздвоился» - распался на два слагаемых вдвое меньшего уровня, чем исходный (1/2 перед каждым из слагаемых), смещенных на частоту сигнала ±со 0 соответственно влево (со - со 0) и вправо (со + со 0) по оси частот. Несложно показать, что если в гармоническом сигнале имеется начальная фаза ср 0 , то при нервом слагаемом в формуле (2.39) будет множитель e j% ,
а при втором - е
Научившись вычислять спектральные плотности достаточно простых, но часто встречающихся импульсных сигналов, перейдем к систематическому изучению свойств преобразования Фурье. Это важнейшее свойство формулируется так: если имеется некоторая совокупность сигналов причем то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом: Здесь - произвольные числовые коэффициенты. Для доказательства формулы (2.26) следует подставить сумму сигналов в преобразование Фурье (2.16). Пусть - сигнал, принимающий вещественные значения. Его спектральная плотность в общем случае является комплексной: Подставам это выражение в формулу обратного преобразования фурье (2.18): Для того чтобы сигнал, полученный путем такого двукратного преобразования, оставался вещественным, необходимо потребовать, чтобы Это возможно лишь в том случае, если вещественная часть спектральной плотности сигнала есть четная, а мнимая часть - нечетная функция частоты: Предположим, что для сигнала известно соответствие Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на секунд позднее. Принимая точку за новое начало отсчета времени, обозначим этот смещенный сигнал как Покажем, что Доказательство очень простое. Действительно, Модуль комплексного числа при любых равен единйце, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена в частотной зависимости аргумента его спектральной плотности (фазовом спектре). Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени t играет новая независимая переменная (k - некоторое вещественное число). Если то происходит «сжатие» исходного сигнала; если же то сигнал «растягивается» во времени. Оказывается, что если то Действительно, откуда следует формула (2.29). Итак, для того чтобы, например, сжать сигнал во времени, сохраняя его форму, необходимо распределить те же спектральные составляющие в более широком интервале частот при соответствующем пропорциональном уменьшении их амплитуд. К рассматриваемому здесь вопросу близко примыкает Следующая задача. Дан импульс отличный от нуля на отрезке и характеризуемый спектральной плотностью Требуется иайти спектральную плотность «обращенного во времени» сигнала который представляет собой «зеркальную копию» исходного импульсного колебания. Поскольку очевидно, что то Выполнив замену переменной находим, что Пусть сигнал s(t) и его спектральная плотность заданы. Будем изучать новый сигнал и Поставим цель найти его спектральную плотность - . По определению, Преобразование Фурье - линейная операция, значит, равенство (2.31) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Учитывая (2.28), получаем Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора: подставляя этот ряд в (2.32) и ограничиваясь первыми двумя членами, находим При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает. Как следствие модуль спектра производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем спектра исходного сигнала. Формула (2.33) обобщается на случай спектра производной порядка. Легко доказать, что если , то Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель Поэтому принято говорить, что мнимое число является оператором дифференцирования, действующим в частотной области. Рассмотренная функция является первообразной (неопределенным интегралом) по отношению к функции Из (2.33) формально следует, что спектр первообразной Таким образом, множитель служит оператором интегрирования в частотной области. Во многих радиотехнических устройствах находят применение так называемые интеграторы - физические системы, выходной сигнал которых пропорционален интегралу от входного воздействия. Рассмотрим конкретно интегратор, осуществляющий преобразование входного сигнала в выходной сигнал по следующему закону: Здесь - фиксированный параметр. Определенный интеграл, входящий в (2.36), равен, очевидно, разности двух значений первообразной сигнала одно из которых вычисляется при аргументе t, а другое - при аргументе . Используя соотношения (2.28) и (2.35), получаем формулу связи между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе: Сомножитель в скобках ограничен при любых частотах, в то же время модуль знаменателя линейно растет с увеличением частоты. Это свидетельствует о том, что рассматриваемый интегратор действует подобно фильтру нижних частот, ослабляя высокочастотные спектральные составляющие входного сигнала.
Преобразование Фурье
Свойства непрерывного преобразования Фурье
Если
То
h(t) вещественная
H(-f) = H · (f)
h(t) чисто мнимая
H(-f) = -H · (f)
h(t) четная
H(f) четная
h(t) нечетная
H(f) нечетная
h(t) вещественная и четная
H(f) вещественная и четная
h(t) вещественная и нечетная
H(f) чисто мнимая и нечетная
h(t) чисто мнимая и четная
H(f) чисто мнимая и четная
h(t) чисто мнимая и нечетная
H(f) вещественная и нечетная
Дискретное преобразование Фурье
Быстрое преобразование Фурье
Линейность преобразования Фурье.
Свойства вещественной и мнимой частей спектральной плотности.
Спектральная плотность сигнала, смещенного во времени.
Зависимость спектральной плотности сигнала от выбора масштаба измерения времени.
Спектральная плотность производной и неопределенного интеграла.
Спектральная плотность сигнала на выходе интегратора.
- 1с предприятие 8.3 закрытие месяца. Как закрывать квартал начинающему бухгалтеру пошаговая инструкция. Настройка учетной политики организации
- Продажа ос в 1с 8.3 бухгалтерия. Как в «1с» отразить продажу основных средств и мнма. Продажа основного средства с восстановлением амортизационной премии
- Расчет и калькуляции себестоимости продукции Расчет себестоимости путем распределения расходов
- Самые счастливые люди на Земле: особенности и интересные факты