Какой угол образуют две полуплоскости. Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока: ввести понятие двугранного угла и его линейного угла;
Ход урока
I. Организационный момент.
Сообщить тему урока, сформировать цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся (слайд 2, 3).
1. Подготовка к изучению нового материала.
Что называется углом на плоскости?
Что называется углом между прямыми в пространстве?
Что называется углом между прямой и плоскостью?
Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах
III. Изучение нового материала.
- Понятие двугранного угла.
Фигура, образованная двумя полуплоскостями , проходящими через прямую МN, называется двугранным углом (слайд 4).
Полуплоскости - грани, прямая МN – ребро двугранного угла.
Какие предметы в обыденной жизни имеют форму двугранного угла? (Cлайд 5)
- Угол между плоскостями АСН и СНD – это двугранный угол АСНD, где СН – ребро. Точки А и D лежат на гранях этого угла. Угол AFD – линейный угол двугранного угла АCHD (слайд 6).
- Алгоритм построения линейного угла (слайд 7).
1 способ. На ребре взять любую точку О и провести перпендикуляры в эту точку (РО DE, KO DE) получили угол РОК - линейный.
2 способ. В одной полуплоскости взять точку К и опустить из нее два перпендикуляра на другую полуплоскость и ребро (КО и КР), тогда по теореме обратной ТТП РОDE
- Все линейные углы двугранного угла равны (слайд 8). Доказательство: лучи ОА и О 1 А 1 сонаправлены, лучи ОВ и О 1 В 1 тоже сонаправлены, углы ВОА и В 1 О 1 А 1 равны как углы с сонаправлеными сторонами.
- Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла (слайд 9).
IV. Закрепление изученного материала.
- Решение задач (устно по готовым чертежам). (Слайды10-12)
1. РАВС – пирамида; угол АСВ равен 90 о, прямая РВ перпендикулярна плоскости АВС. Доказать, что угол РСВ – линейный угол двугранного угла с
2. РАВС - пирамида; АВ = ВС, D – середина отрезка АС, прямая РВ перпендикулярна плоскости АВС. Доказать, что угол PDB – линейный угол двугранного угла с ребром АС.
3. PABCD – пирамида; прямая РВ перпендикулярна плоскости АВС, ВК перпендикулярна DC. Доказать, что угол РКВ – линейный угол двугранного угла с ребром СD.
- Задачи на построение линейного угла (слайды 13-14).
1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в пирамиде РАВС грань АВС – правильный треугольник, О – точка пересечения медиан, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС
2. Дан ромб АВСD.Прямая РС перпендикулярна плоскости АВСD.
Построить линейный угол двугранного угла с ребром ВD и линейный угол двугранного угла с ребром АD.
- Вычислительная задача. (Слайд 15)
В параллелограмме АВСD угол АDС равен 120 0 , АD = 8 см,
DС= 6 см, прямая РС перпендикулярна плоскости АВС, РС= 9 см.
Найти величину двугранного угла с ребром АD и площадь параллелограмма.
V. Домашнее задание (слайд16).
П. 22, № 168, 171.
Используемая литература:
- Геометрия 10-11 Л.С.Атанасян.
- Система задач по теме “Двугранные углы” М.В.Севостьянова (г.Мурманск), журнал Математика в школе 198… г.
Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя не принадлежащим одной плоскости полуплоскостями, имеющими общую границу – прямую а. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями, а общая граница этих полуплоскостей – ребром двугранного угла. Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи, по которым грани двугранного угла, пересекаются плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла. У каждого двугранного угла сколько угодно линейных углов: через каждую точку ребра можно провести плоскость, перпендикулярный этому ребру; лучи, по которым эта плоскость пересекает грани двугранного угла, и образуют линейные углы.
Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Докажем, что если равны двугранные углы, образованные плоскостью основания пирамиды КАВС и плоскостям ее боковых граней, то основание перпендикуляра, проведенного из вершины К, является центром вписанной в треугольник АВС окружности.
Доказательство. Прежде всего, построим линейные углы равных двугранных углов. По определению, плоскость линейного угла должна быть перпендикулярна ребру двугранного угла. Следовательно, ребро двугранного угла должно быть перпендикулярно сторонам линейного угла. Если КО перпендикуляр к плоскости основания, то можно провести ОР перпендикуляр АС, ОR перпендикуляр СВ, OQ перпендикулярAB, а затем соединить точки P, Q, R С точкой К. Тем самым, мы построим проекцию наклонных РК, QK, RK так, что ребра АС, СВ, АВ перпендикулярны этим проекциям. Следовательно, эти ребра перпендикулярны и самим наклонным. И потому плоскости треугольников РОК, QOK, ROK перпендикулярны соответствующим ребрам двугранного угла и образуют те равные линейные углы, о которых сказано в условии. Прямоугольные треугольники РОК, QOK, ROK равны (так как у них общий катет ОК и равны противолежащие этому катету углы). Следовательно, ОР = OR = OQ. Если провести окружность с центром О и радиусом ОР, то стороны треугольника АВС перпендикулярны радиусам ОР, OR и OQ а потому являются касательными к этой окружности.
Перпендикулярность плоскостей. Плоскость альфа и бета называются перпендикулярными, если линейный угол одного из двугранных углов, образовавшихся при их пересечении равен 90". Признаки перпендикулярности двух плоскостей Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед. Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A1B1C1D1. А боковые ребра АА1 ВВ1, СС1, DD1, перпендикулярны к основаниям. Отсюда следует что АА1 перпендикуляр АВ, т. е. боковая грань – прямоугольник. Таким образом, можно обосновать свойства прямоугольного параллелепипеда: В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
Теорема Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Обратимся снова к рисунку, И докажем что АС12 =АВ2+AD2+АА12 Так как ребро СС1 перпендикулярно к основанию АВСD то угол АСС1 прямой. Из прямоугольного треугольника АСС1 по теореме Пифагора получаем АС12=АС2+СС12. Но АС - диагональ прямоугольника АВСD, поэтому АС2 = АВ2+АD2. Кроме того, СС1 = АА1. Следовательно АС12= АВ2+АD2+AA12 Теорема доказана.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Учитель математики ГОУ СОШ №10 Еременко М.А.
Основные задачи урока: Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла Рассмотреть задачи на применение этих понятий
Определение: Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.
Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB -линейный угол двугранного угла ACD В
Докажем, что все линейные углы двугранного угла равны друг другу. Рассмотрим два линейных угла АОВ и А 1 ОВ 1 . Лучи ОА и ОА 1 лежат в одной грани и перпендикулярны ОО 1 , поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и ОВ 1 также сонаправлены. Следовательно, ∠ АОВ = ∠ А 1 ОВ 1 (как углы с сонаправленными сторонами).
Примеры двугранных углов:
Определение: Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Задача 1: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1 . Ответ: 90 o .
Задача 2: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1 . Ответ: 45 o .
Задача 3: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1 . Ответ: 90 o .
Задача 4: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1 . Ответ: 90 o .
Задача 5: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D . Решение: Пусть О – середина В D. A 1 OC 1 – линейный угол двугранного угла А 1 В D С 1 .
Задача 6: В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что ∠ DMB – линейный угол двугранного угла BACD .
Решение: Треугольники ABC и ADC правильные, поэтому, BM ⊥ AC и DM ⊥ AC и, следовательно, ∠ DMB является линейным углом двугранного угла DACB .
Задача 7: Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α , проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ 1 . Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α , если АВ=2, ∠ВАС=150 0 и двугранный угол ВАСВ 1 равен 45 0 .
Решение: АВС – тупоугольный треугольник с тупым углом А, поэтому основание высоты ВК лежит на продолжении стороны АС. ВК – расстояние от точки В до АС. ВВ 1 – расстояние от точки В до плоскости α
2) Так как АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, ∠ВКВ 1 – линейный угол двугранного угла ВАСВ 1 и ∠ВКВ 1 =45 0 . 3) ∆ВАК: ∠А=30 0 , ВК=ВА· sin 30 0 , ВК =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =
«Двугранный угол» - Найдите расстояние от точки В до плоскости. Угол С острый. Треугольник АВС – тупоугольный. Угол С тупой. Расстояние от точки до прямой. В тетраэдре DАВС все ребра равны. Угол между наклонными. Расстояние между основаниями наклонных. Линейные углы двугранного угла равны. Алгоритм построения линейного угла.
«Двугранный угол геометрия» - угол РСВ - линейный для двугранного угла с ребром АС. Найти (увидеть) ребро и грани двугранного угла. Модель может быть как объемной, так и складной. Сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру. Грани. прямая СР перпендикулярна ребру СА (по теореме о трех перпендикулярах). угол РКВ - линейный для двугранного угла с РСАВ.
«Трёхгранный угол» - Признаки равенства трехгранных углов. Дано: Оabc – трехгранный угол; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Урок 6. Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула: Формула трех косинусов. . Дан трехгранный угол Оabc. Трехгранный угол. Теорема. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине меньше 120?.
«Трёхгранные и многогранные углы» - Трехгранные углы додекаэдра. Трехгранные и четырехгранные углы ромбододекаэдра. Четырехгранные углы октаэдра. Трехгранные углы тетраэдра. Измерение многогранных углов. Задача. Многогранные углы. Пятигранные углы икосаэдра. Вертикальные многогранные углы. Трехгранный угол пирамиды. Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол.
«Угол между прямой и плоскостью» - В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AC1 и плоскостью ADE1. В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ACE1. Угол между прямой и плоскостью. В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ADE1.
«Многогранный угол» - Выпуклые многогранные углы. Многогранные углы. В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д. В) икосаэдр. Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. Следовательно, ? ASB + ? BSC + ? ASC < 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.
Всего в теме 9 презентаций
- 1с предприятие 8.3 закрытие месяца. Как закрывать квартал начинающему бухгалтеру пошаговая инструкция. Настройка учетной политики организации
- Продажа ос в 1с 8.3 бухгалтерия. Как в «1с» отразить продажу основных средств и мнма. Продажа основного средства с восстановлением амортизационной премии
- Расчет и калькуляции себестоимости продукции Расчет себестоимости путем распределения расходов
- Самые счастливые люди на Земле: особенности и интересные факты